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【ドラえもん×高校数学】あの頃の難題、今なら解ける説【アニメ】

雑記

突然ですが皆さん、この問題をご存じですか？

\[ F(a)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |{\sin{x}-a\cos{x}}| \, dx 　　を最小にするaの値を求めよ。 \]

この問題自体に深い意味はなく、出題が興味深いのです。

というのも、この問題が見られるのはアニメ「ドラえもん」。

「脱出！　恐怖の骨川ハウス」という回の次のシーンです。小学生のときに一度見たことがあるかも。

ひみつ道具によってのび太一行はスネ夫の屋敷に閉じ込められ、脱出するには数々の問題を解かなければならなくなったのですが、早く問題を解かないと徐々に部屋が狭くなっていき、終いには押しつぶされてしまうため、悠長にしている暇などありません。

一行は「みんなで力を合わせてここを出よう」と意気込み、早速問題に取り組みますが、出題された第一問目がこれ。

しずか曰く、「中学生でも分からないと思う」とのこと。

高校生でも（受験生以外で）解ける人は少数かと思われます。

結局、のび太たちは諦めて別の問題に取り組むことになったのですが、この問題、今なら頑張れば解けるのではないかと思うのです。

数年前の私が解けたか怪しい（笑）

というわけで、考えてみました。

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再掲
\[ F(a)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |{\sin{x}-a\cos{x}}| \, dx 　　を最小にするaの値を求めよ。 \]

おや、積分の中に絶対値が入っています。この絶対値は正負を場合分けして外すのが定石ですよね。

つまり、

\[ {\sin{x}-a\cos{x}}<0　と　{\sin{x}-a\cos{x}}≧0　を \]

分けて考えるということ。

そのためには、

\[ {\sin{x}-a\cos{x}}=0　・・・(1) \]

となるxを求めることが重要です。

このxを求めるにはどうすればよいでしょう？

これを考えるためには、まず、aの正負を考える必要があります。

a≦0のときは簡単です。ちょっと考えれば分かりますが、

\[ {\sin{x}-a\cos{x}}≧0　(0≦x≦\frac{\pi}{2}) \]
\[ ですね。　0≦x≦\frac{\pi}{2}　において常に　 \sin{x}≧0\,\,\,,\,\,\, \cos{x}≧0　　が成り立つからです。 \]

したがって、a≦0のとき、

\[ F(a)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |{\sin{x}-a\cos{x}}| \, dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} {\sin{x}-a\cos{x}} \, dx=-a+1　(ただしa≦0) \]

となり、これとa≦0よりF(a)の最小値は１（このときa=0）となります。

これで終わりではありません。a≧0のときも考える必要があります。

\[ a≧0のときは {\sin{x}-a\cos{x}}の正負がxの値によって変わるので、式（１）を満たすxの値を考える必要があります。 \]

式（１）は、三角関数の合成により、

\[ {\sqrt{1+a^{2}}\sin(x-β)=0} \] \[ ただし、βは　{\sin{β}}=\frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}　,　{\cos{β}}=\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}　を満たす数。 \]

と変形できるので、式（1）を満たすためには

\[ x=β \]

であればよいですね。言い換えれば、x=βで正負が切り替わります。

したがって、

\[ F(a)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |{\sin{x}-a\cos{x}}| \, dx = \int_{0}^{β} {-\sin{x}+a\cos{x}}\, dx + \int_{β}^{\frac{\pi}{2}} {\sin{x}-a\cos{x}} \, dx \]

と書くことができ、絶対値を外すことができました！

後は普通に計算すればよく、

\[ F(a)=\cos{β}+a\sin{β}-1-a+\cos{β}+a\sin{β} \]

と書けます。いま、

\[ {\sin{β}}=\frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}} \] \[ {\cos{β}}=\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}} \]

であるから、代入して、

\[ F(a)=\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{a^{2}}{\sqrt{1+a^{2}}}-1-a+\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{a^{2}}{\sqrt{1+a^{2}}} \]
\[ =\frac{2}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{2a^{2}}{\sqrt{1+a^{2}}}-1-a \]

となり、aについての式になりました。この式の最小値を求めることができれば終了です！

この式の最小値を求めることはそれほど難しいことではありません。aについて微分すればよいのです。

すなわち、

\[ \frac{d\,F(a)}{d\,a}=\frac{2a}{\sqrt{1+a^{2}}}-1 \]

となり、これが0となるとき、

\[ 2a=\sqrt{1+a^{2}}　⇔　a=\frac{\sqrt3}{3}　（∵a≧0） \]
\[ となります。すなわち、a=\frac{\sqrt3}{3}　のとき、F(a)は極小値をとり、 \]
\[ F(\frac{\sqrt{3}}{3})=\sqrt{3}-1 \]
\[ なので、a≧0のとき、F(a)は最小値\sqrt{3}-1をとります。 \] \[ これとa≦0のときの最小値1を比べると、\sqrt{3}-1のほうが小さいので、実数aにおけるF(a)の最小値は\sqrt{3}-1であり、このとき、 \]
\[ a=\frac{\sqrt3}{3} \]

をとります。

参考までにF(a)のグラフは以下。

これでスネ夫の部屋から脱出できましたね！

こんなの考えてる間に潰されそう（笑）

Do you know about this problem?

\[ F(a)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |{\sin{x}-a\cos{x}}| \, dx \]

Find the value of a that minimizes this equation.

This problem itself does not have a deep meaning, but it can be seen in the anime “Doraemon”.

It is a scene from the episode “Escape! The Terrifying Honekawa House”. You may have seen it when you were in elementary school.

Thanks to a Doraemon’s tool, Nobita and his friends are trapped in Suneo’s mansion and have to solve various problems to escape. If they don’t solve the problems quickly, the room will gradually become smaller and eventually crush them, so they don’t have time to waste.

The group encourages each other, saying, “Let’s work together and escape from here,” and immediately start working on the first problem. This is the problem they were given.

According to Shizuka, she didn’t think even middle school students would be able to solve it.

Even among high school students (excluding those preparing for exams), few would be able to solve it.

In the end, Nobita and his friends gave up and started working on another problem. But now, I think if we try our best, we can solve this problem.

So, let’s think about it.

Let’s summarize what we have discussed.

\[ F(a)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |{\sin{x}-a\cos{x}}| , dx \] is the equation we need to minimize. To do this, we need to eliminate the absolute value by considering the cases when \[({\sin{x}-a\cos{x}})\] is positive and when it is negative. If we have \[(a\leq0)\], the solution is straightforward. Since \[({\sin{x}-a\cos{x}})\] is always non-negative for \[(0\leq x \leq \frac{\pi}{2}) (because both (\sin{x}) and (\cos{x}) are non-negative),\] the integral simplifies to \[(-a+1)\,\, where\,\, a\leq0.\] Therefore, the minimum value of (F(a)) in this case is 1, which occurs when (a=0). Now, let’s consider the case when \[(a\geq0).\] In this case, we need to find the values of (x) that satisfy \[({\sin{x}-a\cos{x}}=0).\] By applying trigonometric identities, we can rewrite this equation as \[({\sqrt{1+a^{2}}\sin(x-\beta)=0})\], where \[(\sin{\beta}=\frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}})\] and \[(\cos{\beta}=\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}).\] To find the values of (x) that satisfy this equation, we have \[(x=\beta) (where ({\sin{\beta}}=\frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}})).\] So, the integral can be split into two parts: \[ F(a)=\int_{0}^{\beta} {-\sin{x}+a\cos{x}}\, dx + \int_{\beta}^{\frac{\pi}{2}} {\sin{x}-a\cos{x}} \, dx \] By integrating and substituting the values of \[(\sin\beta) and (\cos\beta),\] we can simplify the equation to: \[ F(a)=\frac{2}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{2a^{2}}{\sqrt{1+a^{2}}}-1-a \] Now, let’s find the minimum value of (F(a)) by differentiating it with respect to (a): \[ \frac{d\,F(a)}{d\,a}=\frac{2a}{\sqrt{1+a^{2}}}-1 \] Setting this derivative equal to 0, we find that \[(a=\frac{\sqrt{3}}{3}).\] Substituting this value back into the equation, we get that the minimum value of (F(a)) is \[(\sqrt{3}-1) when (a=\frac{\sqrt{3}}{3}).\] To summarize, the minimum value of (F(a)) is \[(\sqrt{3}-1) when (a=\frac{\sqrt{3}}{3}).\] This means that by solving this problem, Nobita and his friends could have escaped from Suneo’s mansion.

I hope this continuation provides a clear explanation of the problem and its solution. Let me know if you have any further questions or need additional assistance!

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